Jumat, 19 Februari 2010

Biodata kaka

Nama: Ricardo Izecson dos Santos Leite
Lahir: Brasilia, 22April 1982
Kebangsaan: Brazil
Klub: AC Milan
Tinggi,Berat: 186 cm, 73 kg
Posisi: Gelandang serang (Attacking Midfielder)
Nomor Punggung: 22
Karir:
1. Tahun 2000-2001 Klub Sao Paolo (27 games, 12 gol)
2. Tahun 2001-2002 Klub Sao Paolo (22 games, 9 gol)
3. Tahun 2002-2003 Klub Sao Paolo (10 games, 2 gol)
4. Tahun 2003-2004 Klub AC Milan (10 games, 14 gol)
5. Tahun 2004-2005 Klub AC Milan (52 games, 9 gol)
6. Tahun 2006-2007 Klub AC Milan (49 games, 19 gol)
7. Tahun 2007-2008 Klub AC Milan (48 games, 18 gol)
8. Tahun 2007-2008 Klub AC Milan (1 games, 2 gol)
9. Tahun 2002-sekarang Tim Nasional Brazil (52 games, 15 gol)
Prestasi:
1. Tahun 2001 Torneio Rio (Sao Paolo)
2. Tahun 2002 Supercampeonato Paulista (Sao Paolo)
3. Tahun 2003 European Super Cup
4. Tahun 2004 Juara ke-2 Intercontiental Cup (AC Milan),Juara seri A (AC Milan)

Biodata rooney

Lahir: Liverpool, 24 Oktober 1985
Agustus 2002: Masuk dalam tim senior Everton ketika menghadapi Tottenham Hotspur. Rooney adalah produk pembinaan tim yunior Everton.

Oktober 2002: Menyumbang gol ke gawang Wrexham. Mencetak gol ke gawang Arsenal sekaligus mengakhiri rekor 30 kali tak terkalahkan yang dicatat The Gunners.

Desember 2002: Menjadi pemain termuda yang diganjar kartu merah di Divisi Utama Liga Inggris ketika menghadapi Birmingham City.

Februari 2003: Menjadi pemain termuda Inggris yang membela tim nasional ketika tampil sebagai pemain pengganti dalam usia 17 tahun dan 111 hari. Sayang, pada debutnya itu Inggris kalah 1-3 dari Australia.

April 2004: Menjadi pencetak gol termuda di tim nasional dalam usia 17 tahun dan 317 hari. Rooney mencetak gol tatkala Inggris menang 3-1 atas Makedonia pada babak kualifikasi Euro 2004.

Juni 2004: Menjadi pencetak gol termuda di Piala Eropa, sebelum diperbaiki Johann Vonlanthen. Mengalami cedera kaki pada saat dikalahkan Portugal pada perempat final Euro 2004.

31 Agustus 2004: Dibeli Manchester United, sebelum batas transfer habis. Transfernya diperkirakan mencapai 25 juta pound (44,92 juta dolar AS).(rtr,A7-59)


Eksperimen lebih akurat dari Einstein

Peneliti di Universitas California, Berkeley membuat eksperimen lebih akurat dari teori relativitas Einstein. Sebelumnya eksperimen, yang dilakukan dengan pesawat terbang dan roket saat meluncur, membuktikan pergerakan jarum jam yang lebih lambat. Tapi eksperimen baru lebih akurat 10.000 kali dibadingkan temuan lama.

Temuan baru ini membuat prediksi Eisntein tepat. Menurut asisten profesor fisika, Holger Miller, hasil penelitian sekali lagi menunjukkan bagaimana teori Einstein dideskripsikan di dunia nyata. "Demonstrasi eksperimen bahwa grafitasi mengubah jalur waktu, konsep dasar teori telativitas," kata Muller.

Fenomena ini sering disebut gravitational redshift (efek geser merah gravitasi) karena gerakan gelombang cahaya lebih lambat atau menjadi lebih pendek ketika disentak oleh gravitasi. Laporan eksperimen dipublikasikan dalam Jurnal Nature edisi 18 Februari.

Dalam uji cobanya, Müller mengetes teori Einstein dengan mengambil prinsip meknika kuantum: bahwa zat terdiri dari partikel dan gelombang. atom cesium (Cs) digunakan dalam eksperimen yang dapat direpresentasikan sebagai zat dengan gelombang 3x10 pangkat 25 kali per detik, atau, 30 juta miliar miliar kali per detik.

Ketika gelombang atom cesium masuk eksperimen, secara perlahan dihadapkan pada kilatan cahaya laser. Aturan mekanika quantum mulai masuk, dan setiap atom cesium memasuki dua realitas secara bergantian. Müller mengatakan pertama, laser telah menekan atom satu per sepuluh millimeter -- 4/1000 inci-- memberikannya dorongan kecil pada area gravitasi bumi. Di sisi lain, atom tak mengubah gravitasi dalam bumi dimana waktu berlalu sedikit lebih cepat.

Saat frekuensi cesium bergerak pada ukuran tinggi, Muller dan penelitinya membawa gelombang zat cesium pada kondisi realitas untuk mengukur perbedaan hasil antara goyangan dan berbagai efek geser merah (redshift). Persamaan dari telativitas memprediksi ukuran perlamabatan waktu, dengan akurasi satu bagian per 100 miliar (7x10-9) -- 10,000 kali lebih akurat dari pergerakan buatan 30 tahun silam menggunakan dua jam hidrogen, satu di Bumi dan lainnya diluncurkan melalui reket ke ketinggian 10,000 kilometer.

"Dari dari teori penting fisika adalah mekanika Quantum and Teori Relativitas," kata teman Müller, Steven Chu, profesor fisika UC Berkeley sekaligus director Lawrence Berkeley National Laboratory.

Kamis, 18 Februari 2010

Bahaya Modernisasi terhadap kebudayaan lokal

Bahaya Modernisasi terhadap Kebudayaan Lokal

Indonesia adalah negara majemuk yang paling besar di dunia. Negara kita memiliki lebih 17.000 pulau dari Sabang sampai Marauke yang memliki budaya yang berbeda-beda.

Perjuangan kemerdekaan juga pertama kali dilakukan dengan sendiri-sendiri untuk mempertahankan kearifan lokal dan menolak sistem tanam paksa yang dilakukan oleh kolonialisme Belanda. Para penjajah ternyata memberikan pengaruh juga terhadap budaya Indonesia.

Perkembangan Indonesia mulai dari zaman kemerdekaan sampai saat ini ternyata belum bisa lepas dari pengaruh asing yang sangat mendominasi khususnya pengaruh budaya Barat. Pada masyarakat kota khususnya sudah mulai mengadopsi kehidupan Barat yang sangat bersifat pragmatis dan kapitalis. Dasar dari pemikiran ini adalah materi, dimana semua ditinjau berdasarkan pertukaran uang dan bagaimana cara yang gampang untuk mendapatkan uang.

Hal ini membuat ruang hidup manusia menjadi terkotak-kotak dan terjadi robotisasi pada manusia. Ruang hidup masyarakat kota tidak akan luas lagi karena waktunya banyak habis dikantor tempat dia bekerja dan tidak banyak lagi waktu untuk kumpul-kumpul bersama keluarganya. Biasanya dalam acara kumpul keluarga ini sering dimanfaatkan untuk saling berbagi pengalaman satu sama lain dan untuk mengontrol anggota keluarganya.

Masyarakat kota juga sudah terprogram untuk bekerja, pulang untuk beristirahat, dan bangun pagi untuk bekerja lagi. Kegiatan inilah yang berulang-ulang pada masyarakat. Teknologi yang modern juga membuat manusia seolah-olah mampu untuk hidup sendiri dan tidak membutuhkan manusia lagi. Kekosongan acara kumpul-kumpul telah digantikan dengan menonton tv atau yang lagi sangat semarak adalah bermain di dunia maya terutama face book.

Manusia sibuk dengan aktivitasnya sendiri tanpa disadari budaya kita yang suka beramah-tamah dengan orang lain sudah mulai musnah dari diri kita. Budaya gotong royong juga sudah mulai pudar, yang disebabkan masyarakat Indonesia sudah individualistik, yaitu setiap orang tidak lagi memikirkan orang yang ada disekitarnya, tetapi hanya memikirkan dirinya sendiri. Padahal zaman dulu bila ada orang yang kesusahan maka masyarakat akan bersama-sama menyelesaikannya sehingga beban dari masalah tersebut terasa ringan.

Di kalangan pemuda budaya konser ala Barat juga sudah merebak hampir diseluruh wilayah Tanah Air. Lagu-lagu cinta yang bernuansakan Barat lebih mendominasi dibandingkan lagu-lagu daerah. Lagu-lagu band modern ini juga tidak hanya di dominasi oleh band Indonesia, tetapi lagu dari luar negri seperti Amerika dan Inggris ikut mengalahkan lagu daerah. Para kaum muda biasanya lebih tertarik dengan acara-acara yang benuansakan bangsa Eropa dibandingkan dengan acara yang lebih bersifat kedaerahan yang tentunya pasti lebih berguna

Model baju yang digunakan oleh artis Barat ataupun band Barat ini tidak jarang ditiru oleh artis lokal dan anak-anak muda sekarang. Kata ketinggalan zaman membuat anak muda takut dan enggan untuk melestarikan budayanya sendiri. Salah pengertian anak-anak remaja tentang anggapan bahwa budaya Baratlah yang harus digunakan karena modern dan sesuai dengan perkembangan zaman sedangkan budaya yang bersifat tradisional sudah ketinggalan zaman membuat budaya tradisional kurang mendapat perhatian dikalangan pemuda.

Ada dua hal yang harus dibenahi dalam menumbuh kembangkan kebudayaan Indonesia. Pertama adalah Ketidakpedulian orang tua terhadap perkembangan anaknya karena kesibukan-kesibukannya dikantor membuat anak berkembang sesuai dengan kehendaknya walau itu tidak sesuai dengan kebiasaan dan norma masyarakat Indonesia itu sendiri.

Orangtua harus mengontrol anak terutama anak yang sedang tumbuh dewasa karena pertemuan yang intens terletak pada anak dan orangtua. Anak harus di didik sesuai tata kehidupan yang berlaku dan norma yang ada di masyarakat sehingga menjadi manusia yang berkepribadian dalam budaya. Yang kedua adalah kita tidak mungkin menolak budaya Barat yang sudah melekat berabad-abad sejak zaman kolonialisme.

Tetapi kita harus mengambil sikap untuk mempertahankan, mencintai dan melestarikan budaya kita sendiri yang dimulai dari sejak dini agar budaya kita tidak musnah ditelan arus zaman yang terus bergerak dinamis. Dalam hal ini pemerintah terkhususnya pemerintah daerah yang berperan aktif dalam menyaring budaya asing yang masuk kesatu daerah, apakah budaya tersebut sesuai dengan norma yang ada atau tidak.

Pemerintah harus mampu memadukan kebudayaan daerah dengan kebudayaan asing sehingga terjadi perpaduan budaya yang harmonis dan tidak mengganggu kebudayaan daerah. Dalam hal ini yang sangat penting adalah penguasaan media karena media sangat mempengaruhi pola pikir perkembangan anak terkhusus pada konteks ini adalah anak yang sedang tumbuh dewasa. Pemerintah juga harus mampu merangsang anak-anak remaja untuk tertarik dengan budayanya, misalnya dengan mengadakan pentas seni budaya dan bisa melalui pendidikan dengan penambahan mata pelajaran muatan lokal yang membahas tentang budaya-budaya Indonesia. Mari kita lestarikan budaya kita sekarang sebelum terlambat.



Perangkat Lunak

Perangkat lunak, adalah program komputer yang berfungsi sebagai sarana interaksi antara pengguna dan perangkat keras. Perangkat lunak dapat juga dikatakan sebagai 'penterjemah' perintah-perintah yang dijalankan pengguna komputer untuk diteruskan ke atau diproses oleh perangkat keras. Perangkat lunak ini dibagi menjadi 3 tingkatan: tingkatan program aplikasi (application program misalnya OpenOffice.org), tingkatan sistem operasi (operating system misalnya Ubuntu), dan tingkatan bahasa pemrograman (yang dibagi lagi atas bahasa pemrograman tingkat tinggi seperti Pascal dan bahasa pemrograman tingkat rendah yaitu bahasa rakitan).

Perangkat lunak adalah program komputer yang isi instruksinya dapat diubah dengan mudah. Perangkat lunak umumnya digunakan untuk mengontrol perangkat keras (yang sering disebut sebagai device driver), melakukan proses perhitungan, berinteraksi dengan perangkat lunak yang lebih mendasar lainnya (seperti sistem operasi, dan bahasa pemrograman), dan lain-lain.

Komputer

komputer adalah alat yang dipakai untuk mengolah data menurut prosedur yang telah dirumuskan. Kata computer semula dipergunakan untuk menggambarkan orang yang perkerjaannya melakukan perhitungan arit matika, dengan atau tanpa alat bantu, tetapi arti kata ini kemudian dipindahkan kepada mesin itu sendiri. Asal mulanya, pengolahan informasi hampir eksklusif berhubungan dengan masalah aritmatika, tetapi komputer modern dipakai untuk banyak tugas yang tidak berhubungan dengan .

Dalam definisi seperti itu terdapat alat seperti slide rule, jenis kalkulator mekanik mulai dari abakus dan seterusnya, sampai semua komputer elektronik yang kontemporer. Istilah lebih baik yang cocok untuk arti luas seperti "komputer" adalah "yang memproses informasi" atau " pengolah sisteminformasi."

Menurut sejarah komputer, generasi komputer dibagi menjadi 5 bagian.

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINNGUNG LINGKARAN

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Tujuan Pembelajaran
Kompetensi Dasar :
- Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi :
Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat :
- merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b).
- menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui.
- menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu.
- menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran.
- menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.

Pengertian Irisan Kerucut
Menurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan hiperbola. Ilmuwan lain yang mempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat dan Rene Descartes.

Materi
A. Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r


















Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka
OP =√OP’)2+(PP’)2
Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = y
r = √x2+y2
r2 = x2 + y2
x2 + y2 = r2


Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :
x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r


















Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
AP = √(AP’)2 + (PP’)2
r2 = √(x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2


B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk baku persamaan lingkaran :
● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r :
L ≡ x2+y2 = r2
● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r :
L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :
Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah
L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :
L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16
L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16
L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)
atau
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0


2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalah
L ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0
L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C
4 4 4 4
L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C
4 4 4 4


Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :
● Pusat lingkaran di (-A)
B
● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C
4 4


C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
















● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut :
1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1
x1
2. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennya
mg = -1 = -1 = -x1
Mop y1 y1
3. Persamaan garis singgung g :
y – y1 = mg (x – x1)

y – y1 = x1 (x – x1)
y1
y1y – y12 = - x1x + x12
x1x + y1y = x12 + y12
x1x + y1y = r2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus :
x1x + y1y = r2

• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r


















Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut
1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b
x1 - a
2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalah
mg = -1 = - x1 - a
Map - y1 - b
3. Persamaan garis singgung g adalah :
y – y1 = mg (x – x1)
y – y1 = - x1 - a
- y1 - a
(y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1)
y1y – y12 – by + b y1 = – (x1x – ax – x12 + ax1)
x1x – ax – x12 + ax1 + y1y – y12 – by + b y1 = 0
x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = x12 + y12 ......(*)
Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka berlaku :
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2
x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2
x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2
substitusi x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 ke (*), diperoleh :
x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2
(x1x – ax + ax1 – 2ax1 + a2) + (y1y – by + b y1 – 2by1 – b2) = r2
(x1x – ax – ax1 + a2) + (y1y – by – b y1 + b2) = r2
(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui
● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :
x2 + (mx + n)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2
(1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalah
D = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2)
D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2)
D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2
D = 4 (m2r2 – n2 + r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0.
4 (m2r2 – n2 + r2) = 0
m2r2 – n2 + r2 = 0
n2 = r2 (1 + m2)
n = ± r √1 + m2

Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien m adalah
y = mx ± r √1 + m2

● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r
1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :
(x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0
(1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah
D = {– 2(a – mn + bm)}2 – 4 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)
D = 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)
3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0
4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0
(a – mn + bm) 2 – (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0
a2 + m2n2 + b2m2 – 2amn + 2abm – 2bm2n – a2 – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 – m2n2 – b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0
– 2amn + 2abm – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 + m2r2 = 0
2amn – 2abm + n2 + b2 – 2bn – r2 + a2m2 – m2r2 = 0
(n2 + a2m2 + b2 + 2amn –2bn – 2abm) – r2 (1+ m2) = 0
(n + am – b)2 = r2 (1+ m2)
(n + am – b) = r √1 + m2
n = (–am + b) ± r√1 + m2
4. Substitusi n = (–am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh
y = mx + (–am + b) ± r √1 + m2
(y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah
(y – b) = m(x – a) ± r√1 + m2

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar Lingkaran
Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1.
Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1

Langkah 2.
Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung.

Langkah 3.
Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m.
Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.

















Contoh :
Persamaan Lingkaran

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)
Penyelesaian :
Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalah
r = √(-3)2 + 52 = √34
r2 = 34
Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 34
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalah
L ≡ x2 + y2 = 34

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)
Penyelesaian :
Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25
Persamaan lingkarannya :
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
Penyelesaian :
L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13
L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13
L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16
Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik (-3,2)
Penyelesaian :
Titik (-3,2); x1 = -3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13
Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13
-3x + 2y = 13

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2)
Penyelesaian :
Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25
Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 25
4x – 12 + 3y – 34 = 25
4x + 3y – 34 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyai gradien 3.
Penyelesaian :
Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.
Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2
y = 3x ± 4√10
y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m = 3 adalah
y = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12
Penyelesaian :
Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x – 1) ± 3√(1 + (5/12)2
(y + 2) = 5/12(x – 1) ± 39/12
12y + 24 = 5x – 5 ± 39
5x – 12y – 29 ± 39 = 0
5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 adalah
5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0